二重积分极坐标

概括：这道题是荀宋鼐同学的课后数学练习题，主要是关于二重积分极坐标，指导老师为扈老师。二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。

题目：二重积分极坐标

二重积分经常把直角坐标转化为极坐标形式

主要公式有x=ρcosθ y=ρsinθ x^2+y^2=ρ^2 dxdy=ρdρdθ

极点是原来直角坐标的原点

以下是求ρ和θ 范围的方法

一般转换极坐标是因为有x^2+y^2存在,转换后计算方便

题目中会给一个x,y的限定范围,一般是个圆

将x=ρcosθ y=ρsinθ 代进去可以得到一个关于ρ的等式,就是ρ的最大值 而ρ的最小值一直是0

过原点作该圆的切线,切线与x轴夹角为θ范围

如：x^2+y^2=2x 所以(ρcosθ)^2+(ρsinθ)^2=2ρcosθ ρ=2cosθ

此时0≤ρ≤2cosθ 切线为x=0 所以 -2/π≤θ≤2/π

参考思路：

如果圆心是（1.1）-半径是2怎么求极角和机径

举一反三

例1： 二重积分直角坐标转化成极坐标[数学练习题]

记住这几点：

x=rcosθ

y=rsinθ

x^2+y^2=r^2

dxdy=rdrdθ

例2： 【二重积分直角坐标转极坐标转换∫（上限2,下线0）dx∫（上限根号下（2x-x^2）,下限0）f（x,y）dy这个图要不是用画图软件不会画呀，有没有不画图的方法啊】

x的范围是0=0,因此

0

例3： 【一道二重积分的极坐标转换】[数学练习题]

用极坐标代换

x=rcosθ

y=rsinθ

x=y(x和y都大于0的)

那么rcosθ=rsinθ⇒θ=π/4

y=x^4⇒rsinθ=(rcosθ)^4⇒r=sinθ^(1/3)/cosθ^(4/3)

例4： 【二重积分计算,什么时候用直角坐标,什么时候用极坐标】[数学练习题]

简单地讲,主要依赖于积分区域的形状,也就是其边界.例如：矩形区域用直角坐标比用极坐标好,而扇形区域就用极坐标.可以这样归结：用那种坐标方式表示定积分简单并且好积,就用那种坐标,需要在实践中不断自己摸索.After all,“Brevity is the soul of Mathematics”.

例5： 二重积分由直角坐标化为极坐标如何确定上下限啊?有什么规律阿?可以举例说明一下?[数学练习题]

一个比较直观的方法是先在坐标图中先画出二重积分的区域,然后再根据这个区域确定极坐标的上下限.

另一个比较通用的方法就是根据极坐标的转换公式：

r=sqrt(x^2 + y^2), /theta=tan(y/x)

根据x,y的定义域来确定r和/theta的值域.

相关思考练习题：

题1：极坐标计算二重积分

点拨：解： 设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤π/2，2cosθ≤ρ≤2。 ∴原式=∫(0,π/2)dθ∫(2cosθ,2)ρ³dρ=4∫(0,π/2)[1-(cosθ)^4]dθ。 而，4(cosθ)^4=(1+cos2θ)²=3/2+2cosθ+(1/2)cos4θ， ∴原式=2π-[3/2+2cosθ+(1/2)cos4θ]丨(θ=0,π/2)=5π/4。 供参考。

题2：二重积分，极坐标如何化成直角坐标

点拨：r ≤ 1/ cosθ 等价于 rcosθ ≤ 1 而 rcosθ 其实就是直角坐标系中的 x 至于 0≤ θ ≤ 45° 就是 y = x 直线的下方部分（这道题还更要求在第一象限部分）

题3：高数，极坐标计算二重积分

点拨：楼上答非所问 结果是kπa²。

题4：二重积分用极坐标形式θ怎么确定范围，根据什么，是...

点拨：没有题不太好回答，θ的取值范围一般是根据草图确定的，直接通过直角坐标系就可以得到，比如说被积区域是圆心在原点处的整个圆，那么就取2派，若只取上半个圆就取0到派，等等，若是半径为1 圆心在(0,1)处的整个圆，就取0到派，。这样说就懂了吧。...

题5：二重积分计算（极坐标形式）

点拨：画出D的图形， 可以看出， D是由x轴，直线y=√3·x，圆y=√(3-x²)围成的平面区域。 y=√3·x的极坐标方程为：θ=π/3 y=√(3-x²)的极坐标方程为：r=√3 根据直角坐标与极坐标之间的转换公式， 原式=∫(0~π/3)dθ∫(0~√3)rsinθ·rdr =√3·∫(0...