什么是反函数

概括：这道题是符特匚同学的课后数学练习题，主要是关于什么是反函数，指导老师为宿老师，下面是详细讲解。

题目：什么是反函数

反函数

开放分类：数学、函数

一般地,如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应,y=f（x）.则y=f（x）的反函数为y=f-1（x）.

存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)

【反函数的性质】

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；

（2）函数存在反函数的充要条件是,函数在它的定义域上是单调的；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）偶函数一定不存在反函数,奇函数不一定存在反函数.若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数.

(5)一切隐函数具有反函数；

(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】.

（8）反函数是相互的

（9）定义域、值域相反对应法则互逆

（10）不是所有函数都有反函数如y=x的偶次方

例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5

y=2^x的反函数是y=log2 x

例题：求函数3x-2的反函数

y=3x-2的定义域为R,值域为R.

由y=3x-2解得

x=1/3(y+2)

将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是

y=1/3(x+2)

举一反三

例1： 什么叫反函数举个例子?f(x)=ln(x-1）的反函数是什么[数学练习题]

反函数说白了,就是把函数中的自变量变成因变量,因变量变成自变量.

你给的函数,自变量是x,因变量是y,

则原式变为：x=ln(y-1),这样把y解出来就行了.

答案为：y=e^x+1

例2： 什么叫反函数举例说明[数学练习题]

一般地,如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应,y=f（x）.则y=f（x）的反函数为y=f-1（x）.

存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)

【反函数的性质】

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；

（2）函数存在反函数的充要条件是,函数在它的定义域上是单调的；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）偶函数一定不存在反函数,奇函数不一定存在反函数.若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数.

(5)一切隐函数具有反函数；

(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】.

（8）反函数是相互的

（9）定义域、值域相反对应法则互逆

例3： y=a^x的反函数是什么啊.什么叫反函数啊.[数学练习题]

y=a^x的反函数是y=log(a)x

反函数就是原函数关于y=x对称的函数

例4： 什么叫反函数?定义[数学练习题]

一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x= f(y).若对于y在C中的任何一个值,通过x= f(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x= f(y)就表示y是自变量,x是因变量y的函数,这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f^-1(y).反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

说明：⑴在函数x=f^-1(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y,把它改写成y=f^-1(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.

例5： 什么叫互为反函数[数学练习题]

1.反函数的概念

设y＝f(x)表示y是自变量x的函数,它的定义域为A,值域为C,从式子y＝f(x)中解出x,得到式子x＝φ(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x＝φ(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么x＝φ(y)就表示x是自变量y的函数.这样的函数x＝φ(y)(y∈C)叫做函数y＝f(x)(x∈A)的反函数,记作x＝f-1(y),通常将它改写成y＝f-1(x).

函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f-1(x)的值域；函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f-1(x)的定义域.

函数y＝f(x)的图像和它的反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称.

2.反函数概念的理解

反函数实质上也是函数.

反函数是相对于原函数而言,换句话说,反函数不能脱离原函数而单独存在.

并不是所有的函数都有反函数.例如函数y＝x2没有反函数.只有原象唯一的函数,即对任意x1≠x2能推断出f(x1)≠f(x2)成立的函数f(x)才具有反函数(这里x1、x2是f(x)的定义域内的两个值).

如果函数y＝f(x)有反函数y＝f-1(x),那么函数y＝f(x)也是其反函数y＝f-1(x)的反函数,即它们互为反函数.

函数y＝f(x)的定义域和值域分别是其反函数y＝f-1(x)的值域和定义域.

反函数的定义域和值域应该正好是原来函数的值域和定义域.例如,函数y＝ (x∈Z)不是函数y＝2x(x∈Z)的反函数,因为前者的定义域显然不是后者的值域.因此,求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)时,必须确定原来函数y＝f(x)的值域.

3.求给定解析式的函数y＝f(x)的反函数,其步骤为：

(1)从方程y＝f(x)中解出x＝f-1(y);

(2)将x、y互换,得到y＝f-1(x);

(3)根据y＝f(x)的值域,写出y＝f-1(x)的定义域.

互为反函数的两个函数如果有解析式,一般是不同的,但也有相同的.例如函数y＝x的反函数仍是y＝x,函数y＝ 的反函数仍是y＝ .

4.互为反函数图像间的关系

在同一个直角坐标系中,函数y＝f(x)与其反函数y＝f-1(x)的图像关于直线y＝x对称.特别地,当函数与其反函数相同时,函数的图像本身关于直线y＝x对称.

在y＝f(x)与x＝f-1(y)中,x、y所表示的量相同,但是地位不同.在y＝f(x)中,x是自变量,y是x的函数；在x＝f-1(y)中,y是自变量,x是y的函数.在同一个直角坐标系中,y＝f(x)与x＝f-1(y)的图像是同一个点集.

5.反函数具备的其它性质

在y＝f(x)与y＝f-1(x)中,x、y所处的地位相同,但表示的量的意义不同.

若y＝f(x)(x∈A),与y＝f-1(x)(x∈C)互为反函数,则有

f［f-1(x)］＝x(x∈C)；

f-1［f(x)］＝x(x∈A).

互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性.

奇函数若有反函数,则其反函数也是奇函数.

具有单调性的函数必有反函数.

两个互为反函数的图像如果有交点,它们的交点不一定在直线y＝x上.

相关思考练习题：

题1：什么是互为反函数？？？

点拨：例 1：函数 y= x+5姨 (x≥ -5)的反函数是（ ）（ A） y=x2-5（ x∈ R）（ B） y=x2-5 (x≥ 0)（ C） y=x2+5(x≥ 0)（ D） y=x 2 -5 (x≥ -5)分析：本题解决的关键在于准确求出反函数的定义域，由函数 y= x+5姨 (x≥ -5)及其定义域求得其值域为 [0,+∞)...

题2：什么是反函数？

点拨：反函数 一般地，如果确定函数y=f(x)的对应f是从函数的定义域到值域上的一一对应，那么由f的“逆”对应f-1所确定的函数就叫做函数的反函数，反函数x=f-1(x)的定义域、值域分别为函数y=f(x)的值域、定义域。 函数是具有方向性的 ，原函数是从A到B，...

题3：什么是反函数？

点拨：将一个原函数的自变量与应变量互换(x,y互换)得到新的函数就是原函数的反函数

题4：反函数是什么？请举例说明

点拨：反函数 开放分类：数学、函数 一般地,如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应,y=f（x）.则y=f（x）的反函数为y=f-1（x）. 存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的) 【反函数的性质】 （1）互为反函数的两个函数的图象关...

题5：什么函数才有反函数？

点拨：在定义域内单调的函数具有反函数。 如该题，它所问的是在整个定义域内是否有反函数，当然是没有； 如果将问题改为在X＜0上时，则有反函数。