十七角星

概括：这道题是禹柯枷同学的课后语文练习题，主要是关于十七角星，指导老师为匡老师。1796年3月30日是一个关键时候，当年高斯才18岁，他发现了如何从"欧氏工具"，也就是以圆规及直尺，作十七边形的图。这个发现使高斯在数学家中一炮而红，也因这事件使高斯决定献身数学。 高斯对此成就是那么自豪与高兴，因而告诉他的友人说，他的墓碑上一定要刻上正17边形，可惜并没有如愿以偿，高斯的纪念碑上刻着一个十七个角的星星，原来是负责纪念碑的雕刻家认为正十七边形和圆形太像了，大家一定分辨不出来。

题目：十七角星

解：

1796年的一天,德国哥廷根大学,一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭,开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题.前两道题在两个小时内就顺利完成了.第三道题写在另一张小纸条上：要求只用贺规和一把没有刻度的直尺,画出一个正17边形.他感到非常吃力.时间一分一秒的过去了,第三道题竟毫无进展.这位青年绞尽脑汁,但他发现,自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助.困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺,他一边思索一边在纸上画着,尝试着用一些超常规的思路去寻求答案.当窗口露出曙光时,青年长舒了一口气,他终于完成了这道难题.见到导师时,青年有些内疚和自责.他对导师说：“您给我布置的第三道题,我竟然做了整整一个通宵,我辜负了您对我的栽培……” 导师接过学生的作业一看,当即惊呆了.他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗?”青年有些疑惑地看着导师,回答道：“是我做的.但是,我花了整整一个通宵.” 导师请他坐下,取出圆规和直尺,在书桌上铺开纸,让他当着自己的面再做出一个正17边形.青年很快做出了一上正17边形.导师激动地对他说：“你知不知道?你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案!阿基米德没有解决,牛顿也没有解决,你竟然一个晚上就解出来了.你是一个真正的天才!” 原来,导师也一直想解开这道难题.那天,他是因为失误,才将写有这道题目的纸条交给了学生.每当这位青年回忆起这一幕时,总是说：“如果有人告诉我,这是一道有两千多年历史的数学难题,我可能永远也没有信心将它解出来.” 这位青年就是数学王子高斯.高斯用代数的方法解决的,他也视此为生平得意之作,还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上,但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形,而是十七角星,因为负责刻碑的雕刻家认为,正十七边形和圆太像了,大家一定分辨不出来.关于正十七边形的画法（高斯的思路,本人并非有意剽窃^_^）：有一个定理在这里要用到的：若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来,那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的,其中c是方程x^2+ax+b=0的实根.上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候,做出长为sqrt(a^2-4b)的线段.（这一步,大家会画吧?） 而要在一个单位圆中做出正十七边形,主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段.下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出,同时也就给出了具体的做法.设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16p ai/17)]>0 a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos( 14pai/17)]0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]

举一反三

例1： 【当时高斯画出的正17边形是什么样子的】[语文练习题]

思路提示：

1796 年的一天,德国哥廷根大学,一个很有数学天赋的19 岁青年吃

完晚饭,开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题.

前两道题在两个小时内就顺利完成了.第三道题写在另一张小纸条上：

要求只用圆规和一把没有刻度的直尺,画出一个正17 边形.

他感到非常吃力.时间一分一秒地过去了,第三道题竟毫无进展.这

位青年绞尽脑汁,但他发现,自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题

都没的任何帮助.

困难反而激起了他的斗志：我一定把它做出来!他拿起圆规和直尺,

他一边思索一边在纸上画着,尝试着用一些超常规的思路去寻求答案.

当窗口露出曙光时,青年长舒了一口气,他终于完成了这道难题.

见到导师时,青年有些内疚和自责.他对导师说：“您给我布置的第三

道题,我竟然做了整整一个通宵,我辜负了您对我的栽培……”

导师接过学生的作业一看,当即惊呆了.他用颤抖的声音对青年说：

“这是你自己做出来的吗?”青年有些疑惑地看着导师,回答道：“是我做

的.但是,我花了整整一个通宵.”

导师请他坐下,取出圆规和直尺,在书桌上铺开纸,让他当着他的面

再做出一个正17 边形.

你解开了一桩的两千多年历史的数学悬案!阿基米德没的解决,牛顿也没

有解决,你竟然一个晚上就解出来了.你是个真正的天才!”

原来,导师也一直想解开这道难题.那天,他是因为失误,才将写有

这道题目的纸条交给了学生.

每当这位青年回忆起这一幕时,总是说：“如果有人告诉我,这是一道

有两千年历史的数迷难题,我可能永远也没有信心将它解出来.”

这位青年就是数学王子高斯.

编后语：有些事情,在不清楚它到底有多难时,我们往往能够做得更好!由此看来,真正的困难并不是困难本身,而是我们对困难的畏惧

例2： 高斯画出正十七变形,他是用什么办法如何测出角度和距离的只给了圆规和没有刻度的直尺,但作图过程中经常有什么线段等于几分之几线段,角几等于几分之几角几,这是怎么算的给一圆O,[数学练习题]

思路提示：

在与圆O的直径AB垂直的半径OC上,作出OC的中点D,在OB上作一点E,使OE等于半径的1/8；以E为圆心,ED长为半径作弧,与OA、OB分别交于F、G；以F为圆心,FD长为半径作弧,交OA延长线于H,以G为圆心,GD长为半径作弧,交OA于I；作OB中点J,以线段IJ为直径作圆,交OC于K；过K作AB的平行线,与以线段OH为直径的圆交于远端L,过L作OC的平行线,与圆O交于M.弧AM就是圆O的1/17.

依次连结各点就行了

例3： 高斯是怎样画出圆内正十七边形的

思路提示：

步骤一：给一圆O,作两垂直的直径OA、OB,在OB上作C点使OC＝1/4OB,作D点使∠OCD＝1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度 步骤二：作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆 过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点.步骤三：过G4作OA垂直线交圆O于P4,过G6作OA垂直线交圆O于P6,则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点,P4为第四顶点,P6为第六顶点.以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点.备注一 一个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是,该多边形的边数必定是一个费马质数.换句话说,只有正三边形、正五边形、正十七边形、正257边形和正63357边形可以用尺规作出来,其它的正质数多边形就不可以了.（除非我们再发现另一个费马质数.） 备注二 黎西罗给出了正257边形的尺规作法,写满了整整80页纸.盖尔梅斯给出了正63357边形的尺规作法,此手稿整整装满了一只手提箱,现存于德国哥廷根大学.这是有史以来最繁琐的尺规作图.备注三 正十七边形的尺规作图存在之证明:设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a 故sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=2方sin4acos4acos8a=2的4次方sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有:16cosacos2acos4acos8a=-1 又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有:x+y=-1/2 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a) 经计算知xy=-1 又有 x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4 其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有x1+x2=(-1+根号17)/4 y1+y2=(-1-根号17)/4 解之可有:(您自己解解吧~) 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合,故正17边形可用尺规作出.

例4： 【高斯用尺规做图做出正17边形有什么意义】[数学练习题]

思路提示：

是世人明白了尺规作图的本质:只有有理数的二次根下添加域内的数才能通过尺规作出.

例5： 【高斯和他的正17边形中的一句话两千多年历史的数学悬案的意思】

思路提示：

一个人要辰时

相关思考练习题：

题1：正17边形怎么画？？

点拨：1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。 前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用贺规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。...

题2：德国一位著名的数学家，曾希望在自己的墓碑上铭刻...

点拨：高斯用代数的方法解决二千多年来的几何难题,他也视此为生平得意之作,还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上,但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形,而是十七角星,因为负责刻碑的雕刻家认为,正十七边形和圆太像了,大家一定分辨不出来

题3：求cos(2Pi/17)的准确值 作图要用

点拨：0.93247222940436

题4：关于数学的小知识

点拨：高斯(Gauss 1777~1855)生于Brunswick,位于现在德国中北部。他的祖父是农民,父亲是泥水匠,母亲是一个石匠的女儿,有一个很聪明的弟弟,高斯这位舅舅,对小...

题5：17角等于元

点拨：你好，很高兴为你作答 17角等于1.7元 望采纳