余弦定理的证明

概括：这道题是霍却钒同学的课后数学练习题，主要是关于余弦定理的证明，指导老师为邢老师。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。

题目：余弦定理的证明

解：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

举一反三

例1： 余弦定理的证明方法及过程[数学练习题]

思路提示：

任意做三角形ABC,记BC=a,AC=b,AB=c,BC所对角为α,过B做BD⊥AC交AC于点D

则有两个直角三角形Rt△ABD与Rt△BDC

BD=csinα,AD=ccosα,CD=b-ccosα

由勾股定理,BD^2+CD^2=BC^2

(csinα)^2+(b-ccosα)^2=b^2-2bccosα+c^2[(sinα)^2+(cosα)^2]=b^2-2bccosα+c^2=a^2

即证余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosα

同理可证余弦定理其他式子

例2： 余弦定理的证明!不用向量法,常规方法怎样证明余弦定理,[数学练习题]

思路提示：

证明：

如图：

∵a=b-c

∴a^2=(b-c)^2 （证明中前面所写的a,b,c皆为向量,^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc

再拆开,得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

同理可证其他,而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下.

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平面几何证法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

例3： 利用余弦定理证明!△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:ma=(1/2)[(√2(b^2+c^2)-a^2)]mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^2)]mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]图释[数学练习题]

思路提示：

借助余弦定理可以证出.只证Ma,其余证法相同.

取BC的中点D,连接AD,在△ABD中,BD=a/2,由余弦定理得

AD^2=AB^2+BD^2-2AB*BDcosB

=c^2+a^2/4-2*c*a/2*cosB .①

在△ABC中,有：b^2=c^2+a^2-2ac*cosB,变形为

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ca.②

将②代入①式,得

AD^2=c^2+a^2/4-2*c*a/2*(c^2+a^2-b^2)/2ca

=c^2+a^2/4-(c^2+a^2-b^2)/2

=(4c^2+a^2)/4-(2c^2+2a^2-2b^2)/4

=(2b^2+2c^2-a^2)/4

所以Ma=AD=1/2*根号(2b^2+2c^2-a^2).

所以:4(ma^2+mb^2+mc^2)=4*[1/4(2b^+2c^2-a^2)+1/4(2a^2+2c^2-b^2)+1/4(2a^2+2b^2-c^2)

=3b^2+3c^2+3a^2=3(a^2+b^2+c^2)

得证!

例4： 余弦定理都有哪些证明发法（要具体的）[数学练习题]

思路提示：

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活．

对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质

a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB

c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

证明：

如图：

∵a=b-c

∴a^2=(b-c)^2 （证明中前面所写的a,b,c皆为向量,^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc

再拆开,得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

同理可证其他,而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下.

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平面几何证法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,

如果一个三角形两边的平方和等于第三

边的平方,那么第三边所对的角一定是直

角,如果小于第三边的平方,那么第三边所

对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边

所对的角是锐角.即,利用余弦定理,可以判断三角形形状.

同时,还可以用余弦定理求三角形边长取值范围.

例5： 利用平面向量证明余弦定理的全步骤,[数学练习题]

思路提示：

设三角形ABC的三边长分别是a,b,c.以A为原点,AB方向为x轴正向.

则A,B,C的坐标分别是（0,0）,（c,0),（bcosA,bsinA)

因此向量AB=(c,0),AC=(bcosA,bsinA),BC=(bcosA-c,bsinA)

|AB|^2+|AC|^2-|BC|^2=c^2+b^2-(bcosA-c)^2-(bsinA)^2=2bccosA

相关思考练习题：

题1：用向量方法证明三角形的余弦定理

点拨：BC=AC-AB BC^2=(AC-AB)^2=AC^2-2AC*AB+AB^2 a^2=b^2-2bccosA+c^2

题2：三面角余弦定理的证明

点拨： 在OA上取一点D，过D作OD的垂线DE、DF分别交OB、OC于E与F。接着使用向量证明。考虑有向线段OD、OE、OF、DE、DF。易知：cos∠OA=DE·DF/(DE*DF)sin∠AOB=DE/OEsin∠AOC=DF/OFcos∠AOB=OD/OEcos∠AOC=OD/OFcos∠BOC=OE·OF/(OE*OF)；则实际是要证明：DE·DF...

题3：高考考正弦定理和余弦定理的证明吗

点拨：确定的讲，至少过去的10年里没有考过

题4：余弦定理的证明！？？

点拨：证明： ∵a=b-c ∴a^2=(b-c)^2 （证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc 再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA 同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。 ----------------------...

题5：正余弦定理内容及所有的证明方法

点拨：余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。该图中，a与b应互换位置 对于任意三角形 三边为a...