卡方分布

概括：这道题是余疚俅同学的课后数学练习题，主要是关于卡方分布，指导老师为富老师。若n个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其卡方分布分布规律称为χ2(n)分布（chisquare distribution），其中参数 n 称为自由度，自由度不同就是另一个χ2分布，正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样。

题目：卡方分布

解：

卡方分布主要是主要是列联分析,F分布主要是方差分析,T分布主要是小样本分析.

举一反三

例1： 谁知到正态分布,T分布,F分布都是什么关系啊?[数学练习题]

思路提示：

正态分布的形状位置都是由u和σ决定的,不用我解释这个了吧,正态分布定义嘛… 可是σ往往现实中未知的吧,至于为什么未知,也不用我解释了吧,毕竟总体的标准差能知道就无敌了吧… 所以,就用s来估计σ,s是样本标准差.样本标准差和总体标准差不是不一样的嘛,哪里不一样就是一个除n一个除n－1.把一般的正态分布标准化都是令u=（x－μ)/σ的吧,可是σ未知,所以t分布就出现了…令t=(x的平均数－μ)/样本平均数标准差.这样就化成另一种标准正态分布了,不过为了和一般意义上的标准正态分布区别,特取名为t分布.至于F分布…是和卡方分布有关系,从定义式就能看出来嘛…然后卡方分布不就是几个相互独立的标准正态分布的平方和的分布嘛～这就是它们的关系… 多看看书再理解理解吧…

例2： 求卡方分布,F分布,t分布的关系.[数学练习题]

思路提示：

这是三大抽样分布,其实他们都是基于正态分布建立起来的.只要你查看一般的数理统计书籍,就很容易找到的.1.设X1服从以自由度为m的卡方分布,X2服从以自由度为n的卡方分布,X1与X2独立,则F=（X1/m）/（X2/n）的分布就是自由度为m与n的F分布 2.设随机变量X1,X2独立且X1服从标准正态分布,X2服从以自由度为n的卡方分布,则t=X1/根号（X2/n）的分布就是自由度为n的t分布

例3： 卡方分布和t分布的方差问题!一、定义：N个服从正态分布（均值为0,方差为1）的独立随机变量的平方和X服从自由度为N的卡方分布.证明D(X)=2N二、定义：假设X服从均值为0方差为1的正态分布,Z[数学练习题]

思路提示：

1.设X=Y1^2+Y2^2+Y3^2+...+YN^2 其中Yn都是独立的而且服从N(0,1)

那么X服从自由度为N的卡方分布

那么D(X)=D(Y1^2)+D(Y2^2)+...+D(YN^2) 因为Yn独立

=2N 因为D(Yn^2)=E(Yn^4)-E(Yn^2)=3-1=2

其中标准正态分布的四阶期望是3 要么通过公式得出E(Y^n)=(2n)!/(n!2^n) 其中Y是标准正态随机变量 n是奇数 如果n为偶数时E(Y^n)=0 要么直接算 算法是分步积分法

或者可以直接计算卡方分布的方差 很好计算 因为自由度为N的卡方分布其实是系数为N/2,1/2的Gamma分布 而Gamma函数的性质让我们很容易计算出X的任何阶期望 具体方法是:

X的n次方期望 就是密度函数乘x^n积分 这时你把x^n放进密度函数你的积分函数里面就得到x的N/2-1+n次方也就是说系数从N/2变成了N/2+n 同样你把分式下面的Gamma函数和1/2^(N/2)提到积分外部 然后添加需要的系数(使得该式变为系数为N/2+n和1/2的Gamma分布 对1积分为一)然后除以你添加的系数 最后积分外部的所有系数就是你的x^n的期望了

2.设X服从N(0,1)Z服从自由度为N的卡方分布 X和Z独立 那么D(T)=E(T^2)-E(T)^2 其中E(T)=E(X/sqrt(Z/N))=E(X)*E(1/sqrt(Z/N))=0

所以D(T)=E(T^2)=E(X^2/(Z/N))=E(X^2)*E(N/Z)=N*E(X^2)*E(1/Z)

其中E(X^2)=1 E(1/Z)=1/(N-2) (通过密度函数计算 同第一题 卡方分布的1/2次方期望可以很容易求出)

所以D(T)=N/(N-2)

对了 自由度为k的卡方分布的密度函数是

你对比这个函数更好看懂我的回答

例4： 【卡方分布,F分布,t分布的关系请问以上三个分布的有何关系?请提供相关数学表达式的相互转换.】[数学练习题]

思路提示：

这是三大抽样分布,其实他们都是基于正态分布建立起来的.只要你查看一般的数理统计书籍,就很容易找到的.

1.设X1服从以自由度为m的卡方分布,X2服从以自由度为n的卡方分布,X1与X2独立,则F=（X1/m）/（X2/n）的分布就是自由度为m与n的F分布

2.设随机变量X1,X2独立且X1服从标准正态分布,X2服从以自由度为n的卡方分布,则t=X1/根号（X2/n）的分布就是自由度为n的t分布

例5： 【数学概率论,t分布卡方分布,f检验实质意义都是什么呀】[数学练习题]

思路提示：

打一个比方来说,你要检验骰子是不是做了手脚.如果你扔了10次骰子,结果都是6.那么你就可以基本断定骰子被做手脚了.无论是t检验,卡方检验,还是f检验都是检验某个假设是否成立.你通过实验可以获取某个随机变量的值.如果假设成立,那么随机变量会服从某个分布,那么该随机变量等于（或小于,或大于）这个值的概率就可以知道,于是你就可以知道实验结果发生的概率.如果概率太小,比如小于0.05,那么就认定假设不成立.如果骰子正常的话,扔10次骰子都是6的概率很小,所以你拒绝原假设.假设检验的道理和这一样（检验骰子能用卡方检验）.至于有t,卡方,f的区别,是因为随机变量服从不同的分布.

相关思考练习题：

题1：概率论中卡方分布自由度的通俗意义是什么？

点拨：http://zhidao.baidu.com/question/191384200.html 一个式子中独立变量的个数称为这个式子的“自由度”，确定一个式子自由度的方法是： 若式子包含有n个独立的随机变量，和由它们所构成的k个样本统计量， 则这个表达式的自由度为n-k。比如中包含ξ1...

题2：卡方分布，F分布，t分布的关系请问以上三个分布的...

点拨：自由度为n-1的t分布 的平方等于自由度（1，n-1）F分布。 自由度为m-1的卡方/n-m-1的卡方分布为（m-1，n-m-1）F分布。 实际上t分布就是 自由度 1的卡方/自由度为n-1的卡方分布。 恩就是这样了，想象t检验的平方不就是( x平均-总体平均u)^2/标准误...

题3：卡方分布的方差为2n 如何证明？

点拨：设X服从N(0, 1)，我们计算D(X^2)，即证明 D(卡方(1))=2 (1)用平方关系来算，D(X^2)=E(X^4)-[E(X^2)]^2 得先算 E(X^4) 设f(x)是N (0, 1)的密度函数，求 E(X^4)， ∫x^4*f(x)dx=∫x^3 *xf(x)dx ， 因为xf(x)的原函数恰是 -f(x) 分部积分∫x^3 *xf(x)d...

题4：这题卡方分布2x1-x2~n(0,20)怎么得到的

点拨：这是因为X1,X2 都是正态分布，而正态分布的线性组合依然是正态分布，并且满足： E(aX1+bX2)=aE(X1)+bE(X2) 以及 V(aX1+bX2)=a^2V(X1)+b^2V(X2), 其中E(X)表示均值，V(X)表示方差。 你这个例子，取a=2,b=-1，E(X)=0, V(X)=4 即可。

题5：【大学概率统计】指数分布和卡方分布如何转换

点拨：利用变量分布函数的关系如图计算一下可得指数分布。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！