数学中国

概括：这道题是古乖娇同学的课后语文练习题，主要是关于数学中国，指导老师为喻老师。数学是中国古代科学中一门重要的学科，它的历史悠久，成就辉煌。根据它本身发展的特点，可以分为五个时期: ①中国古代数学的萌芽; ②中国古代数学体系的形成; ③中国古代数学的发展; ④中国古代数学的繁荣; ⑤中西方数学的融合。

题目：数学中国

解：

国古代数学,和天文学以及其他许多科学技术一样,也取得了极其辉煌的成就.可以毫不夸张地说,直到明代中叶以前,在数学的许多分支领域里,中国一直处于遥遥领先的地位.中国古代的许多数学家曾经写下了不少著名的数学著作.许多具有世界意义的成就正是因为有了这些古算书而得以流传下来.这些中国古代数学名著是了解古代数学成就的丰富宝库.

例如现在所知道的最早的数学著作《周髀算经》和《九章算术》,它们都是公元纪元前后的作品,到现在已有两千年左右的历史了.能够使两千年前的数学书籍流传到现在,这本身就是一项了不起的成就.

开始,人们是用抄写的方法进行学习并且把数学知识传给下一代的.直到北宋,随着印刷术的发展,开始出现印刷本的数学书籍,这恐怕是世界上印刷本数学著作的最早出现.现在收藏于北京图书馆、上海图书馆、北京大学图书馆的传世南宋本《周髀算经》、《九章算术》等五种数学书籍,更是值得珍重的宝贵文物.

从汉唐时期到宋元时期,历代都有著名算书出现：或是用中国传统的方法给已有的算书作注解,在注解过程中提出自己新的算法；或是另写新书,创新说,立新意.在这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果,它们是历代数学家共同留下来的宝贵遗产.

《算经十书》

《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名数学著作,它们曾经是隋唐时候国子监算学科（国家所设学校的数学科）的教科书.十部算书的名字是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》.

这十部算书,以《周髀算经》为最早,不知道它的作者是谁,据考证,它成书的年代当不晚于西汉后期（公元前一世纪）.《周髀算经》不仅是数学著作,更确切地说,它是讲述当时的一派天文学学说——“盖天说”的天文著作.就其中的数学内容来说,书中记载了用勾股定理来进行的天文计算,还有比较复杂的分数计算.当然不能说这两项算法都是到公元前一世纪才为人们所掌握,它仅仅说明在现在已经知道的资料中,《周髀算经》是比较早的记载.

对古代数学的各个方面全面完整地进行叙述的是《九章算术》,它是十部算书中最重要的一部.它对以后中国古代数学发展所产生的影响,正像古希腊欧几里得（约前330—前275）《几何原本》对西方数学所产生的影响一样,是非常深刻的.在中国,它在一千几百年间被直接用作数学教育的教科书.它还影响到国外,朝鲜和日本也都曾拿它当作教科书.

《九章算术》,也不知道确实的作者是谁,只知道西汉早期的著名数学家张苍（前201—前152）、耿寿昌等人都曾经对它进行过增订删补.《汉书?艺文志》中没有《九章算术》的书名,但是有许商、杜忠二人所著的《算术》,因此有人推断其中或者也含有许、杜二人的工作.1984年,湖北江陵张家山西汉早期古墓出土《算数书》书简,67 推算成书当比《九章算术》早一个半世纪以上,内容和《九章算术》极相类似,有些算题和《九章算术》算题文句也基本相同,可见两书有某些继承关系.可以说《九章算术》是在长时期里经过多次修改逐渐形成的,虽然其中的某些算法可能早在西汉之前就已经有了.正如书名所反映的,全书共分九章,一共搜集了二百四十六个数学问题,连同每个问题的解法,分为九大类,每类算是一章.

从数学成就上看,首先应该提到的是：书中记载了当时世界上最先进的分数四则运算和比例算法.书中还记载有解决各种面积和体积问题的算法以及利用勾股定理进行测量的各种问题.《九章算术》中最重要的成就是在代数方面,书中记载了开平方和开立方的方法,并且在这基础上有了求解一般一元二次方程（首项系数不是负）的数值解法.还有整整一章是讲述联立一次方程解法的,这种解法实质上和现在中学里所讲的方法是一致的.这要比欧洲同类算法早出一千五百多年.在同一章中,还在世界数学史上第一次记载了负数概念和正负数的加减法运算法则.

《九章算术》不仅在中国数学史上占有重要地位,它的影响还远及国外.在欧洲中世纪,《九章算术》中的某些算法,例如分数和比例,就有可能先传入印度再经阿拉伯传入欧洲.再如“盈不足” （也可以算是一种一次内插法）,在阿拉伯和欧洲早期的数学著作中,就被称作“中国算法”.现在,作为一部世界科学名著,《九章算术》已经被译成许多种文字出版.

《算经十书》中的第三部是《海岛算经》,它是三国时期刘徽（约225—约295）所作.这部书中讲述的都是利用标杆进行两次、三次、最复杂的是四次测量来解决各种测量数学的问题.这些测量数学,正是中国古代非常先进的地图学的数学基础.此外,刘徽对《九章算术》所作的注释工作也是很有名的.一般地说,可以把这些注释看成是《九章算术》中若干算法的数学证明.刘徽注中的“割圆术”开创了中国古代圆周率计算方面的重要方法（参见本书第98页）,他还首次把极限概念应用于解决数学问题.

《算经十书》的其余几部书也记载有一些具有世界意义的成就.例如《孙子算经》中的“物不知数”问题（一次同余式解法,参见本书第106页）,《张丘建算经》中的“百鸡问题”（不定方程问题）等等都比较著名.而《缉古算经》中的三次方程解法,特别是其中所讲述的用几何方法列三次方程的方法,也是很具特色的.

《缀术》是南北朝时期著名数学家祖冲之的著作.很可惜,这部书在唐宋之际公元十世纪前后失传了.宋人刊刻《算经十书》的时候就用当时找到的另一部算书《数术记遗》来充数.祖冲之的著名工作——关于圆周率的计算（精确到第六位小数）,记载在《隋书?律历志》中（参见本书第101页）.

《算经十书》中用过的数学名词,如分子、分母、开平方、开立方、正、负、方程等等,都一直沿用到今天,有的已有近两千年的历史了.

宋元算书

中国古代数学,经过从汉到唐一千多年间的发展,已经形成了更加完备的体系.在这基础上,到了宋元时期（公元十世纪到十四世纪）又有了新的发展.宋元数学,从它的发展速度之快、数学著作出现之多和取得成就之高来看,都可以说是中国古代数学史上最光辉的一页.

特别是公元十三世纪下半叶,在短短几十年的时间里,出现了秦九韶（1202—1261）、李冶（1192—1279）、杨辉、朱世杰四位著名的数学家.所谓宋元算书就指的是一直流传到现在的这四大家的数学著作,包括：

秦九韶著的《数书九章》（公元1247年）；

李冶的《测圆海镜》（公元1248年）和《益古演段》（公元1259年）；

杨辉的《详解九章算法》（公元1261年）、《日用算法》（公元1262年）、《杨辉算法》（公元1274—1275年）；

朱世杰的《算学启蒙》（公元1299年）和《四元玉鉴》（公元1303年）.

《数书九章》主要讲述了两项重要成就：高次方程数值解法和一次同余式解法（分别参见本书第119页和第110页）.书中有的问题要求解十次方程,有的问题答案竟有一百八十条之多.《测圆海镜》和《益古演段》讲述了宋元数学的另一项成就：天元术（用代数方法列方程,参见本书第121页）；也还讲述了直角三角形和内接圆所造成的各线段间的关系,这是中国古代数学中别具一格的几何学.杨辉的著作讲述了宋元数学的另一个重要侧面：实用数学和各种简捷算法.这是应当时社会经济发展而兴起的一个新的方向,并且为珠算盘的产生创造了条件.朱世杰的《算学启蒙》不愧是当时的一部启蒙教科书,由浅入深,循序渐进,直到当时数学比较高深的内容.《四元玉鉴》记载了宋元数学的另两项成就：四元术（求解高次方程组问题,参见本书第123页）和高阶等差级数、高次招差法（参见本书第131页）.

宋元算书中的这些成就,和西方同类成果相比：高次方程数值解法比霍纳（1786—1837）方法早出五百多年,四元术要比贝佐（1730—1783）①早出四百多年,高次招差法比牛顿（1642—1727）等人早出近四百年.

宋元算书中所记载的辉煌成就再次证明：直到明代中叶之前,中国科学技术的许多方面,是处在遥遥领先地位的.

宋元以后,明清时期也有很多算书.例如明代就有著名的算书《算法统宗》.这是一部风行一时的讲珠算盘的书.入清之后,虽然也有不少算书

举一反三

例1： 我的小侄女上小学已经学到3,4位数的乘除法了.就是竖式计算的那种.我和她聊天说到阿拉伯数字是印度人发明的中国古代没有然后她又问我如果没有阿拉伯数字那怎么用竖式计算乘除法啊[数学练习题]

思路提示：

小孩子就爱刨根问底,奇思妙想让我们这些大人们汗颜啊

嘿嘿 不知道算盘能不能算乘除法?中国古时候好像用的是算筹

下面看看另一个权威的

例2： 鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三一（三只一钱）,白钱买白鸡,问鸡翁,母,雏各几何?[数学练习题]

思路提示：

5x+3y+1/3z=100

x+y+z=100

y=100-x-z

5x+300-3x-3z+1/3z=100

200+2x-8/3z=0

0

例3： 跑得快的马每天行240里，跑得慢的马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？[数学练习题]

思路提示：

150×12÷（240-150）
=1800÷90，
=20（天）．
答：快马20天可追上慢马．

例4： 1.用一根绳量井深,把绳3折来量,井外余绳4尺,把绳4折来量,井外余绳1尺,井深和绳长各多少尺?2.把99拆成4个数字,让第一个数加2,第二个数减2,第三个数乘2,第四个数除以2,得到的结果都相等,应该[数学练习题]

思路提示：

设井深X

则由绳长不变得

3*（X+4）=4*（X+1）

3X+12=4X+4

X=8

设得到的相等的结果为x

(x-2)+(x+2)+(x/2)+(2x)=99

上面的式子的意思就是:第一个数(x-2)和第二个数(x+2)和第三个数(x/2)和第四个数(2x)的和为99

解得x=22

第一个数=22-2=20

第二个数=22+2=24

第三个数=22/2=11

第四个数=22*2=44

例5： 求几道中国古代数学问题[数学练习题]

思路提示：

百鸡问题

《张邱建算经》中,是原书卷下第38题,也是全书的最后一题：「今有鸡翁一,值钱伍；鸡母一,值钱三；鸡鶵三,值钱一.凡百钱买鸡百只,问鸡翁、母、鶵各几何?答曰：鸡翁四,值钱二十；鸡母十八,值钱五十四；鸡鶵七十八,值钱二十六.又答：鸡翁八,值钱四十；鸡母十一,值钱三十三,鸡鶵八十一,值钱二十七.又答：鸡翁十二,值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十四,值钱二十八.」该问题导致三元不定方程组,其重要之处在于开创「一问多答」的先例,这是过去中国古算书中所没有的.

秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题,都是后人对物不知其数问题的一种故事化.

物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》.原题为："今有物不知其数,三三数之二,五五数之三,七七数之二,问物几何?"

这道题的意思是：有一批物品,不知道有几件.如果三件三件地数,就会剩下两件；如果五件五件地数,就会剩下三件；如果七件七件地数,也会剩下两件.问：这批物品共有多少件?

变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数,用3除余2,用5除余3,用7除余2.求这个数.

这个问题很简单：用3除余2,用7除也余2,所以用3与7的最小公倍数21除也余2,而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3,所以23就是本题的一个答案.

这个问题之所以简单,是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性.如果没有这个特殊性,问题就不那么简单了,也更有趣得多.

我们换一个例子；韩信点一队士兵的人数,三人一组余两人,五人一组余三人,七人一组余四人.问：这队士兵至少有多少人?

这个题目是要求出一个正数,使之用3除余2,用5除余3,用7除余4,而且希望所求出的数尽可能地小.

如果一位同学从来没有接触过这类问题,也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案.

例如我们从用3除余2这个条件开始.满足这个条件的数是3n+2,其中n是非负整数.

要使3n+2还能满足用5除余3的条件,可以把n分别用1,2,3,…代入来试.当n=1时,3n+2=5,5除以5不用余3,不合题意；当n=2时,3n+2=8,8除以5正好余3,可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件.

最后一个条件是用7除余4.8不满足这个条件.我们要在8的基础上得到一个数,使之同时满足三个条件.

为此,我们想到,可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和.因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2,除以5仍然余3.于是我们让新数为8+ 15m,分别把m=1,2,…代进去试验.当试到m=3时,得到8+15m=53,53除以7恰好余4,因而53合乎题目要求.

我国古代学者早就研究过这个问题.例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：

三人同行七十稀,

五树梅花甘一枝,

七子团圆正半月,

除百零五便得知.

"正半月"暗指15."除百零五"的原意是,当所得的数比105大时,就105、105地往下减,使之小于105；这相当于用105去除,求出余数.

这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时,用70乘以用3除的余数,用21乘以用5除的余数,用15乘以用7除的余数,然后把这三个乘积相加.加得的结果如果比105大,就除以105,所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解.

按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：

70×2+21×3+15×4=263,

263=2×105+53,

所以,这队士兵至少有53人.

在这种方法里,我们看到：70、21、15这三个数很重要,稍加研究,可以发现它们的特点是：

70是5与7的倍数,而用3除余1；

21是3与7的倍数,而用5除余1；

15是3与5的倍数,而用7除余1.

因而

70×2是5与7的倍数,用3除余2；

21×3是3与7的倍数,用5除余3；

15×4是3与5的倍数,用7除余4.

如果一个数除以a余数为b,那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a,余数仍然是b.所以,把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足"用3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求.一般地,

70m+21n+15k (1≤m＜3, 1≤n＜5,1≤k＜7)

能同时满足"用3除余m 、用5除余n 、用7除余k"的要求.除以105取余数,是为了求合乎题意的最小正整数解.

我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处,那么,是怎么把它们找到的呢?要是换了一个题目,三个除数不再是3、5、7,应该怎样去求出类似的有用的数呢?

为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数,我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求.5与7的最小公倍数是5×7=35,35除以3余2,35的2倍除以3余2,35的2倍除以3就能余1了,于是我们得到了"三人同行七十稀".

为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数,我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求.3与7的最小公倍数是3×7=21,21除以5恰好余1,于是我们得到了"五树梅花甘一枝".

为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数,我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求.3与5的最小公倍数是3×5=15,15除以7恰好余1,因而我们得到了"七子团圆正半月".

3、5、7的最小公倍数是105,所以"除百零五便得知".

例如：试求一数,使之用4除余3,用5除余2,用7除余5.

我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数；5与7的最小公倍数是5×7=35,35除以4余3,3×3除以4余1,因而35×3=105除以4余1,105是5与7的倍数而用4除余1的数.

我们再求4与7的倍数而用5除余1的数；4与7的最小公倍数是4×7=28,28除以5余3,3×7除以5余1,因而28×7=196除余5余1,所以196是4与7的倍数而用5除余1的数.

最后求的是4与5的倍数而用7除余1的数：4与5的最小公倍数是4×5=20,20除以7余6,6×6除以7余1,因而20×6=120除以7余1,所以120是4与5的倍数而用7除余1的数.

利用105、196、120这三个数可以求出符合题目要求的

105×3+196×2+120×5=1307.

由于4、5、7的最小公倍数是4×5×7=140,1307大于140,所以1307不是合乎题目要求的最小的解.用1037除以140得到的余数是47,47是合乎题目的最小的正整数解.

一般地,

105m+196n+120k (1≤m＜4,1≤n＜5,1≤k＜7)

是用4除余m,用5除余n,用7除余k的数(105m+196n+120k)除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数.

上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数.如果只是为了解答我们这个具体的例题,由于5×7=35既是5与7的倍数除以4又余3,就不必求出105再乘以3了.

35+196×2+120×5=1027

就是符合题意的数.

1027=7×140+47,

由此也可以得出符合题意的最小正整数解47.

《算法统宗》中把在以3、5、7为除数"物不知其数"问题中起重要作用的70、21、15这几个特征数用几句口诀表达出来了,我们也可以把在以4、5、7为除数的问题中起重要作用的105、196、120这几个特征数编为口诀.留给读者自己去编吧.

凡是三个除数两两互质的情况,都可以用上面的方法求解.

上面的方法所依据的理论,在中国称之为孙子定理,国外的书籍称之为中国剩余定理.

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