逆矩阵

概括：这道题是怀谥媳同学的课后数学练习题，主要是关于逆矩阵，指导老师为韶老师。逆矩阵: 设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得: AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

题目：逆矩阵

解：

矩阵A的转置矩阵A^T等于A的逆矩阵A^-1

那么AA^T=AA^-1=E

设A=(α1,α2,α3,...,αn)^T,其中αi为n维列向量,

那么A^T=(α1,α2,α3,...,αn),

α1^Tα1,α1^Tα2,α1^Tα3,...,α1^Tαn

α2^Tα1,α2^Tα2,α2^Tα3,...,α2^Tαn

那么AA^T=( ...............)=E,

...............

αn^Tα1,αn^Tα2,αn^Tα3,...,αn^Tαn

那么||αi^Tαi||=1,||αi^Tαj||,i≠j,

也就是说A的每一个列向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交

同理设A=(α1,α2,α3,...,αn)时用A^TA=E可以证明A的每一个行向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交

这样的矩阵叫做正交矩阵,也就是说A必须是单位矩阵才满足A^T=A^-1

还有没不明白的,欢迎追问~

参考思路：

A^{-1}=A^T <=> AA^T=A^TA=I，这个就是正交矩阵的定义，对于一般的n阶正交阵而言没有更简单的条件了

举一反三

例1： 什么情况下矩阵A的转置等于矩阵A的逆阵?书上说当A是正交阵时,A转置×A＝I,可是反过来A*A转置就不等于I了,到底这时A转置等不等于A的逆阵?如果等,那为什么A*A转置不等于I?[数学练习题]

思路提示：

你大概误读了书的意思

A正交时 AA'=A'A=I ,A’表示转置

例2： 逆矩阵等于转置矩阵是否仅当A为正交矩阵的时候这个命题才成立?[数学练习题]

思路提示：

是.

A为正交矩阵←→AA'=E←→A^(-1)=A'.

例3： 【什么情况下矩阵的转置等于矩阵的逆?RT】[数学练习题]

思路提示：

A是正交阵

例4： 矩阵伴随的转置等于矩阵转置的伴随[数学练习题]

思路提示：

(A*)^T的第（i j）元素＝A*的第（j i）元＝aji的代数余子式＝A^T的第（i j）元的代数余子式＝(A^T)^*的第(i j)元.

例5： 证明：A乘以A的转置等于零,那么A一定为零矩阵具体一点,谢谢了[数学练习题]

思路提示：

用最基本的方法：设A==(a ij)m*n 分块A==(A1,A2,...,An),Aj==(a 1j,a 2j,...,a mj)(j==1,2,...n)

则T(A)==T(T(A1),T(A2),...,T(An))

∴AT(A)==∑AjT(Aj)(j==1,2,...n) 显然Aj为m*1阵T(Aj)为1*m阵 故AT(A)必为m*m阵

考虑乘积矩阵对角线的元有(a 1j)^2==(a 2j)^2==...==(a mj)^2==0

故a 1j==a 2j==...==a mj==0.又j==1,2,...n

∴a ij==0,i==1,2...,m,j==1,2,...n

即A==O 得证

相关思考练习题：

题1：是不是所有矩阵都可逆

点拨：不是。 首先，只有方阵才可能可逆，不是方阵的矩阵无从谈他的逆。 其次，即使是方阵也未必可逆，因为矩阵可逆的充要条件之一是其行列式不为0，当矩阵的行列式等于0时，矩阵一定不可逆。

题2：二阶矩阵逆矩阵的公式是哪个

点拨：二矩阵求逆矩阵： 若ad-bc≠哦，则： 矩阵求逆，即求矩阵的逆矩阵。矩阵是线性代数的上要内容，很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷。逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容，逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一。 设A是数域...

题3：逆矩阵的性质

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题4：A的转置矩阵的逆矩阵＝A的逆矩阵的转置矩阵吗，为什么

点拨：等于，因为A的转制乘A逆的转制=（A逆乘A）的转制=E的转制=E，所以A的转制的逆等于A逆的转制

题5：求逆矩阵方法

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